教案的編排以教學(xué)過(guò)程的步驟為基礎(chǔ),使教師能夠清晰地了解整個(gè)教學(xué)流程,從而有利于教學(xué)的有序進(jìn)行。如何寫(xiě)出優(yōu)秀的高中的數(shù)學(xué)教案?下面給大家分享一些高中的數(shù)學(xué)教案,希望對(duì)大家有所幫助。
近期,我開(kāi)設(shè)了一節(jié)公開(kāi)課《橢圓的幾何性質(zhì)1》。在新課程背景下,如何有效利用課堂教學(xué)時(shí)間,如何盡可能地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生在課堂上45分鐘的學(xué)習(xí)效率,是一個(gè)很重要的課題。要教好高中數(shù)學(xué),首先要對(duì)新課標(biāo)和新教材有整體的把握和認(rèn)識(shí),這樣才能將知識(shí)系統(tǒng)化,注意知識(shí)前后的聯(lián)系,形成知識(shí)框架;其次要了解學(xué)生的現(xiàn)狀和認(rèn)知結(jié)構(gòu),了解學(xué)生此階段的知識(shí)水平,以便因材施教;再次要處理好課堂教學(xué)中教師的教和學(xué)生的學(xué)的關(guān)系。課堂教學(xué)是實(shí)施高中新課程教學(xué)的主陣地,也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想品德教育和素質(zhì)教育的主渠道。課堂教學(xué)不但要加強(qiáng)雙基而且要提高智力,發(fā)展學(xué)生的智力,而且要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力;不但要讓學(xué)生學(xué)會(huì),而且要讓學(xué)生會(huì)學(xué),特別是自學(xué)。尤其是在課堂上,不但要發(fā)展學(xué)生的智力因素,而且要提高學(xué)生在課堂45分鐘的學(xué)習(xí)效率,在有限的時(shí)間里,出色地完成教學(xué)任務(wù)。
一、要有明確的教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)分為三大領(lǐng)域,即認(rèn)知領(lǐng)域、情感領(lǐng)域和動(dòng)作技能領(lǐng)域。因此,在備課時(shí)要圍繞這些目標(biāo)選擇教學(xué)的策略、方法和媒體,把內(nèi)容進(jìn)行必要的重組。備課時(shí)要依據(jù)教材,但又不拘泥于教材,靈活運(yùn)用教材。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要通過(guò)師生的共同努力,使學(xué)生在知識(shí)、能力、技能、心理、思想品德等方面達(dá)到預(yù)定的目標(biāo),以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。
二、要能突出重點(diǎn)、化解難點(diǎn)
每一堂課都要有教學(xué)重點(diǎn),而整堂的教學(xué)都是圍繞著教學(xué)重點(diǎn)來(lái)逐步展開(kāi)的。為了讓學(xué)生明確本堂課的重點(diǎn)、難點(diǎn),教師在上課開(kāi)始時(shí),可以在黑板的一角將這些內(nèi)容簡(jiǎn)短地寫(xiě)出來(lái),以便引起學(xué)生的重視。講授重點(diǎn)內(nèi)容,是整堂課的教學(xué)高潮。教師要通過(guò)聲音、手勢(shì)、板書(shū)等的變化或應(yīng)用模型、投影儀等直觀教具,刺激學(xué)生的大腦,使學(xué)生能夠興奮起來(lái),對(duì)所學(xué)內(nèi)容在大腦中刻下強(qiáng)烈的印象,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受能力。尤其是在選擇例題時(shí),例題最好是呈階梯式展現(xiàn),我在準(zhǔn)備例2時(shí),就設(shè)置了三個(gè)小題,從易到難,便于學(xué)生理解接受。
三、要善于應(yīng)用現(xiàn)代化教學(xué)手段
在新課標(biāo)和新教材的背景下,教師掌握現(xiàn)代化的多媒體教學(xué)手段顯得尤為重要和迫切?,F(xiàn)代化教學(xué)手段的顯著特點(diǎn):一是能有效地增大每一堂課的課容量;二是減輕教師板書(shū)的工作量,使教師能有精力講深講透所舉例子,提高講解效率;三是直觀性強(qiáng),容易激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性;四是有利于對(duì)整堂課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧和小結(jié)。在課堂教學(xué)結(jié)束時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本堂課的內(nèi)容,學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。同時(shí)通過(guò)投影儀,同步地將內(nèi)容在瞬間躍然“幕”上,使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握本堂課的內(nèi)容。在課堂教學(xué)中,對(duì)于板演量大的內(nèi)容,如解析幾何中的一些幾何圖形、一些簡(jiǎn)單但數(shù)量較多的小問(wèn)答題、文字量較多應(yīng)用題,復(fù)習(xí)課中章節(jié)內(nèi)容的總結(jié)、選擇題的訓(xùn)練等等都可以借助于投影儀來(lái)完成。
四、根據(jù)具體內(nèi)容,選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法
每一堂課都有規(guī)定的教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)要求。所謂“教學(xué)有法,但無(wú)定法”,教師要能隨著教學(xué)內(nèi)容的變化,教學(xué)對(duì)象的變化,教學(xué)設(shè)備的變化,靈活應(yīng)用教學(xué)方法。這節(jié)課是高三的復(fù)習(xí)課,我采取了讓學(xué)生自己回憶講述橢圓的幾何性質(zhì),教師補(bǔ)充的方法,改變了傳統(tǒng)的教師講,學(xué)生聽(tīng)的模式,調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性。在例題的解決過(guò)程中,我也盡量讓學(xué)生多動(dòng)手,多動(dòng)腦,激發(fā)學(xué)生的思維。此外,我們還可以結(jié)合課堂內(nèi)容,靈活采用談話、讀書(shū)指導(dǎo)、作業(yè)、練習(xí)等多種教學(xué)方法。在一堂課上,有時(shí)要同時(shí)使用多種教學(xué)方法?!敖虩o(wú)定法,貴要得法”。只要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng),有利于所學(xué)知識(shí)的掌握和運(yùn)用,都是好的教學(xué)方法。
五、關(guān)愛(ài)學(xué)生,及時(shí)鼓勵(lì)
高中新課程的&39;宗旨是著眼于學(xué)生的發(fā)展。對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn),要及時(shí)加以總結(jié),適當(dāng)給予鼓勵(lì),并處理好課堂的偶發(fā)事件,及時(shí)調(diào)整課堂教學(xué)。在教學(xué)過(guò)程中,教師要隨時(shí)了解學(xué)的對(duì)所講內(nèi)容的掌握情況。如在講完一個(gè)概念后,讓學(xué)生復(fù)述;講完一個(gè)例題后,將解答擦掉,請(qǐng)中等水平學(xué)生上臺(tái)板演。有時(shí),對(duì)于基礎(chǔ)差的學(xué)生,可以對(duì)他們多提問(wèn),讓他們有較多的鍛煉機(jī)會(huì),同時(shí)教師根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn),及時(shí)進(jìn)行鼓勵(lì),培養(yǎng)他們的自信心,讓他們能熱愛(ài)數(shù)學(xué),學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
六、切實(shí)重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法
眾所周知,近年來(lái)數(shù)學(xué)試題的新穎性、靈活性越來(lái)越強(qiáng),不少師生把主要精力放在難度較大的綜合題上,認(rèn)為只有通過(guò)解
決難題才能培養(yǎng)能力,因而相對(duì)地忽視了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的教學(xué)。教學(xué)中急急忙忙把公式、定理推證拿出來(lái),或草草講一道例題就通過(guò)大量的題目來(lái)訓(xùn)練學(xué)生。其實(shí)定理、公式推證的過(guò)程就蘊(yùn)含著重要的解題方法和規(guī)律,教師沒(méi)有充分暴露思維過(guò)程,沒(méi)有發(fā)掘其內(nèi)在的規(guī)律,就讓學(xué)生去做題,試圖通過(guò)讓學(xué)生大量地做題去“悟”出某些道理。結(jié)果是多數(shù)學(xué)生“悟”不出方法、規(guī)律,理解浮淺,記憶不牢,只會(huì)機(jī)械地模仿,思維水平較低,有時(shí)甚至生搬硬套;照葫蘆畫(huà)瓢,將簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化。如果教師在教學(xué)中過(guò)于粗疏或?qū)W生在學(xué)習(xí)中對(duì)基本知識(shí)不求甚解,都會(huì)導(dǎo)致在考試中判斷錯(cuò)誤。不少學(xué)生說(shuō):現(xiàn)在的試題量過(guò)大,他們往往無(wú)法完成全部試卷的解答,而解題速度的快慢主要取決于基本技能、基本方法的熟練程度及能力的高低??梢?jiàn),在切實(shí)重視基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)中同時(shí)應(yīng)重視基本技能和基本方法的培養(yǎng)。
七、滲透教學(xué)思想方法,培養(yǎng)綜合運(yùn)用能力
常用的數(shù)學(xué)思想方法有:轉(zhuǎn)化的思想,類(lèi)比歸納與類(lèi)比聯(lián)想的思想,分類(lèi)討論的思想,數(shù)形結(jié)合的思想以及配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法等。這些基本思想和方法分散地滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)教材的條章節(jié)之中。在平時(shí)的教學(xué)中,教師要在傳授基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),有意識(shí)地、恰當(dāng)在講解與滲透基本數(shù)學(xué)思想和方法,幫助學(xué)生掌握科學(xué)的方法,從而達(dá)到傳授知識(shí),培養(yǎng)能力的目的,只有這樣。學(xué)生才能靈活運(yùn)用和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)。
教學(xué)目標(biāo):
(1)掌握直線方程的一般形式,掌握直線方程幾種形式之間的互化.
(2)理解直線與二元一次方程的關(guān)系及其證明
(3)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類(lèi)討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):直線方程的一般式.直線與二元一次方程(、不同時(shí)為0)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其證明.
教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法,討論法
教學(xué)過(guò)程:
下面給出教學(xué)實(shí)施過(guò)程設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要思路:
教學(xué)設(shè)計(jì)思路:
(一)引入的設(shè)計(jì)
前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法,看下面問(wèn)題:
問(wèn):說(shuō)出過(guò)點(diǎn)(2,1),斜率為2的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類(lèi),為什么?
答:直線方程是,屬于二元一次方程,因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè),它們的最高次數(shù)為一次.
肯定學(xué)生回答,并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述.再看一個(gè)問(wèn)題:
問(wèn):求出過(guò)點(diǎn),的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類(lèi),為什么?
答:直線方程是(或其它形式),也屬于二元一次方程,因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè),它們的最高次數(shù)為一次.
肯定學(xué)生回答后強(qiáng)調(diào)“也是二元一次方程,都是因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè),它們的最高次數(shù)為一次”.
啟發(fā):你在想什么(或你想到了什么)?誰(shuí)來(lái)談?wù)?各小組可以討論討論.
學(xué)生紛紛談出自己的想法,教師邊評(píng)價(jià)邊啟發(fā)引導(dǎo),使學(xué)生的認(rèn)識(shí)統(tǒng)一到如下問(wèn)題:
【問(wèn)題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”
(二)本節(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計(jì)
這是本節(jié)課要解決的第一個(gè)問(wèn)題,如何解決?自己先研究研究,也可以小組研究,確定解決問(wèn)題的思路.
學(xué)生或獨(dú)立研究,或合作研究,教師巡視指導(dǎo).
經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的研究,教師組織開(kāi)展集體討論.首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案:
思路一:…
思路二:…
……
教師組織評(píng)價(jià),確定最優(yōu)方案(其它待課下研究)如下:
按斜率是否存在,任意直線的位置有兩種可能,即斜率存在或不存在.
當(dāng)存在時(shí),直線的截距也一定存在,直線的方程可表示為,它是二元一次方程.
當(dāng)不存在時(shí),直線的方程可表示為形式的方程,它是二元一次方程嗎?
學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是,此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生,逐步認(rèn)識(shí)到把它看成二元一次方程的合理性:
平面直角坐標(biāo)系中直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式,與其它直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)別,根據(jù)直線方程的概念,方程解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.
綜合兩種情況,我們得出如下結(jié)論:
在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,都有一條表示這條直線的關(guān)于、的二元一次方程.
至此,我們的問(wèn)題1就解決了.簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)就是:直線方程都是二元一次方程.而且這個(gè)方程一定可以表示成或的形式,準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)該是“要么形如這樣,要么形如這樣的方程”.
同學(xué)們注意:這樣表達(dá)起來(lái)是不是很啰嗦,能不能有一個(gè)更好的表達(dá)?
學(xué)生們不難得出:二者可以概括為統(tǒng)一的形式.
這樣上邊的結(jié)論可以表述如下:
在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,都有一條表示這條直線的形如(其中、不同時(shí)為0)的二元一次方程.
啟發(fā):任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺(jué)得還有什么與之相關(guān)的問(wèn)題呢?
【問(wèn)題2】任何形如(其中、不同時(shí)為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?
不難看出上邊的結(jié)論只是直線與方程相互關(guān)系的一個(gè)方面,這個(gè)問(wèn)題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是,因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究,得到明確的結(jié)論.那么如何研究呢?
師生共同討論,評(píng)價(jià)不同思路,達(dá)成共識(shí):
回顧上邊解決問(wèn)題的思路,發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路,即方程(其中、不同時(shí)為0)系數(shù)是否為0恰好對(duì)應(yīng)斜率是否存在,即
(1)當(dāng)時(shí),方程可化為
這是表示斜率為、在軸上的截距為的直線.
(2)當(dāng)時(shí),由于、不同時(shí)為0,必有,方程可化為
這表示一條與軸垂直的直線.
因此,得到結(jié)論:
在平面直角坐標(biāo)系中,任何形如(其中、不同時(shí)為0)的二元一次方程都表示一條直線.
為方便,我們把(其中、不同時(shí)為0)稱作直線方程的一般式是合理的.
【動(dòng)畫(huà)演示】
演示“直線各參數(shù)”文件,體會(huì)任何二元一次方程都表示一條直線.
至此,我們的第二個(gè)問(wèn)題也圓滿解決,而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)大問(wèn)題的兩個(gè)方面,這個(gè)大問(wèn)題揭示了直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,同時(shí),直線方程的一般形式是對(duì)直線特殊形式的抽象和概括,而且抽象的層次越高越簡(jiǎn)潔,我們還體會(huì)到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化關(guān)系.
(三)練習(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書(shū)和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)
略
一、課前檢測(cè)
1.在數(shù)列{an}中,an=1n+1+2n+1++nn+1,又bn=2anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.
解:由已知得:an=1n+1(1+2+3++n)=n2,
bn=2n2n+12=8(1n-1n+1)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.
2.已知在各項(xiàng)不為零的數(shù)列中,。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)若數(shù)列滿足,數(shù)列的前項(xiàng)的和為,求
解:(1)依題意,,故可將整理得:
所以即
,上式也成立,所以
(2)
二、知識(shí)梳理
(一)前n項(xiàng)和公式Sn的定義:Sn=a1+a2+an。
(二)數(shù)列求和的方法(共8種)
5.錯(cuò)位相減法:適用于差比數(shù)列(如果等差,等比,那么叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以的公比,向后錯(cuò)一項(xiàng),再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。
如:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.
解讀:
6.累加(乘)法
解讀:
7.并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.
形如an=(-1)nf(n)類(lèi)型,可采用兩項(xiàng)合并求。
解讀:
8.其它方法:歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等。
解讀:
三、典型例題分析
題型1錯(cuò)位相減法
例1求數(shù)列前n項(xiàng)的和.
解:由題可知{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積
設(shè)①
②(設(shè)制錯(cuò)位)
①-②得(錯(cuò)位相減)
變式訓(xùn)練1(20__昌平模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3++3n-1an=n3,nN__.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{bn}的&39;前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)∵a1+3a2+32a3++3n-1an=n3,①
當(dāng)n2時(shí),a1+3a2+32a3++3n-2an-1=n-13.②
①-②得3n-1an=13,an=13n.
在①中,令n=1,得a1=13,適合an=13n,an=13n.
(2)∵bn=nan,bn=n3n.
Sn=3+232+333++n3n,③
3Sn=32+233+334++n3n+1.④
④-③得2Sn=n3n+1-(3+32+33++3n),
即2Sn=n3n+1-3(1-3n)1-3,Sn=(2n-1)3n+14+34.
小結(jié)與拓展:
題型2并項(xiàng)求和法
例2求=1002-992+982-972++22-12
解:=1002-992+982-972++22-12=(100+99)+(98+97)++(2+1)=5050.
變式訓(xùn)練2數(shù)列{(-1)nn}的前20__項(xiàng)的和S2010為(D)
A.-20__B.-1005C.20__D.1005
解:S2010=-1+2-3+4-5++2008-2009+2010
=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2010-2009)=1005.
小結(jié)與拓展:
題型3累加(乘)法及其它方法:歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等
例3(1)求之和.
(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn=(nN__),
,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中最大的一項(xiàng)是(D)
A.S6B.S5C.S4D.S3
解:(1)由于(找通項(xiàng)及特征)
=(分組求和)==
=
(2)D.
變式訓(xùn)練3(1)(20__福州八中)已知數(shù)列則,。答案:100.5000。
(2)數(shù)列中,,且,則前20__項(xiàng)的和等于(A)
A.1005B.20__C.1D.0
小結(jié)與拓展:
四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主,師生共同完成)
以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn),但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu),使
其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決,只要很好地把握這一規(guī)律,就能使數(shù)列求和化難為易,迎刃而解。
各位老師:
大家好!
我叫______,來(lái)自____。我說(shuō)課的題目是《古典概型》,內(nèi)容選自于高中教材新課程人教A版必修3第三章第二節(jié),課時(shí)安排為兩個(gè)課時(shí),本節(jié)課內(nèi)容為第一課時(shí)。下面我將從教材分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教法與學(xué)法分析、教學(xué)過(guò)程分析四大方面來(lái)闡述我對(duì)這節(jié)課的分析和設(shè)計(jì):
一、教材分析
1.教材所處的地位和作用
古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型,也是一種最基本的概率模型,在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。它承接著前面學(xué)過(guò)的隨機(jī)事件的概率及其性質(zhì),又是以后學(xué)習(xí)條件概率的基礎(chǔ),起到承前啟后的作用。
2.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):理解古典概型及其概率計(jì)算公式。
難點(diǎn):古典概型的判斷及把一些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成古典概型。
二、教學(xué)目標(biāo)分析
1.知識(shí)與技能目標(biāo)
(1)通過(guò)試驗(yàn)理解基本事件的概念和特點(diǎn)
(2)在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中,抽離出古典概型的兩個(gè)基本特征,推導(dǎo)出古典概型下的概率的計(jì)算公式。
2、過(guò)程與方法:
經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程,體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
(1)用具有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)例,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。
(2)讓學(xué)生掌握"理論來(lái)源于實(shí)踐,并把理論應(yīng)用于實(shí)踐"的辨證思想。
三、教法與學(xué)法分析
1、教法分析:根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn),采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法,通過(guò)提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題等教學(xué)過(guò)程,觀察對(duì)比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式,再通過(guò)具體問(wèn)題的提出和解決,來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體能動(dòng)性,讓每一個(gè)學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)。
2、學(xué)法分析:學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情景中,通過(guò)觀察、類(lèi)比、思考、探究、概括、歸納和動(dòng)手嘗試相結(jié)合,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,培養(yǎng)了學(xué)生由具體到抽象,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力,形成了實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。
㈠創(chuàng)設(shè)情景、引入新課
在課前,教師布置任務(wù),以小組為單位,完成下面兩個(gè)模擬試驗(yàn):
試驗(yàn)一:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄"正面朝上"和"反面朝上"的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成20次(最好是整十?dāng)?shù)),最后由代表匯總;
試驗(yàn)二:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄"1點(diǎn)"、"2點(diǎn)"、"3點(diǎn)"、"4點(diǎn)"、"5點(diǎn)"和"6點(diǎn)"的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成60次(最好是整十?dāng)?shù)),最后由代表匯總。
在課上,學(xué)生展示模擬試驗(yàn)的操作方法和試驗(yàn)結(jié)果,并與同學(xué)交流活動(dòng)感受,教師最后匯總方法、結(jié)果和感受,并提出兩個(gè)問(wèn)題。
1.用模擬試驗(yàn)的方法來(lái)求某一隨機(jī)事件的概率好不好?為什么?
不好,要求出某一隨機(jī)事件的概率,需要進(jìn)行大量的試驗(yàn),并且求出來(lái)的結(jié)果是頻率,而不是概率。
2.根據(jù)以前的學(xué)習(xí),上述兩個(gè)模擬試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果之間都有什么特點(diǎn)?]
「設(shè)計(jì)意圖」通過(guò)課前的模擬實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生感受與他人合作的重要性,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。隨著新問(wèn)題的提出,激發(fā)了學(xué)生的求知欲望,通過(guò)觀察對(duì)比,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。
㈡思考交流、形成概念
學(xué)生觀察對(duì)比得出兩個(gè)模擬試驗(yàn)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),教師給出基本事件的概念,并對(duì)相關(guān)特點(diǎn)加以說(shuō)明,加深對(duì)新概念的理解。
[基本事件有如下的兩個(gè)特點(diǎn):
(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.]
「設(shè)計(jì)意圖」讓學(xué)生從問(wèn)題的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)中找出研究對(duì)象的對(duì)立統(tǒng)一面,這能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力,同時(shí)也教會(huì)學(xué)生運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題的一種方法。教師的注解可以使學(xué)生更好的把握問(wèn)題的關(guān)鍵。
例1從字母a、b、c、d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中,有哪些基本事件?
先讓學(xué)生嘗試著列出所有的基本事件,教師再講解用樹(shù)狀圖列舉問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)。
「設(shè)計(jì)意圖」將數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想滲透到具體問(wèn)題中來(lái)。由于沒(méi)有學(xué)習(xí)排列組合,因此用列舉法列舉基本事件的個(gè)數(shù),不僅能讓學(xué)生直觀的感受到對(duì)象的總數(shù),而且還能使學(xué)生在列舉的時(shí)候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數(shù)這一難點(diǎn)
觀察對(duì)比,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)模擬試驗(yàn)和例1的共同特點(diǎn):
讓學(xué)生先觀察對(duì)比,找出兩個(gè)模擬試驗(yàn)和例1的共同特點(diǎn),再概括總結(jié)得到的結(jié)論,教師最后補(bǔ)充說(shuō)明。
[經(jīng)概括總結(jié)后得到:
(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);(有限性)
(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。(等可能性)
我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率概型,簡(jiǎn)稱古典概型。
「設(shè)計(jì)意圖」培養(yǎng)運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)分析問(wèn)題的能力,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。啟發(fā)誘導(dǎo)的同時(shí),訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力。通過(guò)列出相同和不同點(diǎn),能讓學(xué)生很好的理解古典概型。
㈢觀察分析、推導(dǎo)方程
問(wèn)題思考:在古典概型下,基本事件出現(xiàn)的概率是多少?隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率如何計(jì)算?
教師提出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比分析兩個(gè)模擬試驗(yàn)和例1的概率,先通過(guò)用概率加法公式求出隨機(jī)事件的概率,再對(duì)比概率結(jié)果,發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系,最后概括總結(jié)得出古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式:
「設(shè)計(jì)意圖」鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用觀察類(lèi)比和從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義方法來(lái)分析問(wèn)題,同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)化歸思想的優(yōu)越性和這一做法的合理性,突出了古典概型的概率計(jì)算公式這一重點(diǎn)。
提問(wèn):
(1)在例1的實(shí)驗(yàn)中,出現(xiàn)字母"d"的概率是多少?
(2)在使用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)該注意什么?
「設(shè)計(jì)意圖」教師提問(wèn),學(xué)生回答,深化對(duì)古典概型的概率計(jì)算公式的理解,也抓住了解決古典概型的概率計(jì)算的關(guān)鍵。
㈣例題分析、推廣應(yīng)用
例2單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型,一般是從A,B,c,D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案。如果考生掌握了考差的內(nèi)容,他可以選擇唯一正確的答案。假設(shè)考生不會(huì)做,他隨機(jī)的選擇一個(gè)答案,問(wèn)他答對(duì)的概率是多少?
學(xué)生先思考再回答,教師對(duì)學(xué)生沒(méi)有注意到的關(guān)鍵點(diǎn)加以說(shuō)明。
「設(shè)計(jì)意圖」讓學(xué)生明確決概率的計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵是:先要判斷該概率模型是不是古典概型,再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)。鞏固學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握。
例3同時(shí)擲兩個(gè)骰子,計(jì)算:
(1)一共有多少種不同的結(jié)果?
(2)其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種?
(3)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少?
先給出問(wèn)題,再讓學(xué)生完成,然后引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)解答中存在的問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生用列表來(lái)列舉試驗(yàn)中的基本事件的總數(shù)。
「設(shè)計(jì)意圖」利用列表數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論,既能形象直觀地列出基本事件的總數(shù),又能做到列舉的不重不漏。深化鞏固對(duì)古典概型及其概率計(jì)算公式的理解。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣,形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度。
㈤探究思想、鞏固深化
問(wèn)題思考:為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)?如果不標(biāo)記號(hào)會(huì)出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?
要求學(xué)生觀察對(duì)比兩種結(jié)果,找出問(wèn)題產(chǎn)生的原因。
「設(shè)計(jì)意圖」通過(guò)觀察對(duì)比,發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)果不同的根本原因是--研究的問(wèn)題是否滿足古典概型,從而再次突出了古典概型這一教學(xué)重點(diǎn),體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,逐漸養(yǎng)成自主探究能力。
㈥總結(jié)概括、加深理解
1.基本事件的特點(diǎn)
2.古典概型的特點(diǎn)
3.古典概型的概率計(jì)算公式
學(xué)生小結(jié)歸納,不足的地方老師補(bǔ)充說(shuō)明。
「設(shè)計(jì)意圖」使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí),并把學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái),便于記憶和應(yīng)用,也進(jìn)一步升華了這節(jié)課所要表達(dá)的本質(zhì)思想,讓學(xué)生的認(rèn)知更上一層。
㈦布置作業(yè)
課本練習(xí)1、2、3
「設(shè)計(jì)意圖」進(jìn)一步讓學(xué)生掌握古典概型及其概率公式,并能夠?qū)W以致用,加深對(duì)本節(jié)課的理解。
教學(xué)目標(biāo)
(1)正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問(wèn)題,寫(xiě)出符合要求的排列;
(3)掌握排列數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問(wèn)題,寫(xiě)出符合要求的排列數(shù);
(4)會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
(5)通過(guò)對(duì)排列應(yīng)用問(wèn)題的學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過(guò)對(duì)具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律,得出結(jié)論,以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式,并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題.難點(diǎn)是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理和乘法原理的掌握和運(yùn)用,并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問(wèn)題當(dāng)中.
從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,稱為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列.因此,兩個(gè)相同排列,當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同.排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的種數(shù),只要弄清相同排列、不同排列,才有可能計(jì)算相應(yīng)的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個(gè)概念,前者是具有m個(gè)元素的排列,后者是這種排列的不同種數(shù).從集合的角度看,從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集,相當(dāng)于一個(gè)排列,而這種有序集的個(gè)數(shù),就是相應(yīng)的排列數(shù).
公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來(lái)講解.要重點(diǎn)分析好 的推導(dǎo).
排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn),通過(guò)本節(jié)例題的分析,應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問(wèn)題的能力.
在分析應(yīng)用題的解法時(shí),教材上先畫(huà)出框圖,然后分析逐次填入時(shí)的種數(shù),這樣解釋比較直觀,教學(xué)上要充分利用,要求學(xué)生作題時(shí)也應(yīng)盡量采用.
在教學(xué)排列應(yīng)用題時(shí),開(kāi)始應(yīng)要求學(xué)生寫(xiě)解法要有簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明,防止單純的只寫(xiě)一個(gè)排列數(shù),這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力,在基本掌握之后,可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
①在講解排列數(shù)的概念時(shí),要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念.一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中,任取出m個(gè)元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).例如,從3個(gè)元素a,b,c中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
其中每一種都叫一個(gè)排列,共有6種,而數(shù)字6就是排列數(shù),符號(hào) 表示排列數(shù).
②排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.
從定義知,只有當(dāng)元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時(shí),才是同一個(gè)排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列.
在定義中“一定順序”就是說(shuō)與位置有關(guān),在實(shí)際問(wèn)題中,要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件來(lái)決定,這一點(diǎn)要特別注意,這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.
在排列的定義中 ,如果 有的書(shū)上叫選排列,如果 ,此時(shí)叫全排列.
要特別注意,不加特殊說(shuō)明,本章不研究重復(fù)排列問(wèn)題.
③關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué).公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來(lái)講解.課本上用的是不完全歸納法,先推導(dǎo) , ,…,再推廣到 ,這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學(xué)生是不難理解的.
導(dǎo)出公式 后要分析這個(gè)公式的構(gòu)成特點(diǎn),以便幫助學(xué)生正確地記憶公式,防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時(shí)候把公式寫(xiě)錯(cuò).這個(gè)公式的特點(diǎn)可見(jiàn)課本第229頁(yè)的一段話:“其中,公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n,后面每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)是 ,共m個(gè)因數(shù)相乘.”這實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn):第一個(gè)因數(shù)是什么?最后一個(gè)因數(shù)是什么?一共有多少個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.
公式 是在引出全排列數(shù)公式 后,將排列數(shù)公式變形后得到的公式.對(duì)這個(gè)公式指出兩點(diǎn):(1)在一般情況下,要計(jì)算具體的排列數(shù)的值,常用前一個(gè)公式,而要對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證,要用到這個(gè)公式,教材中第230頁(yè)例2就是用這個(gè)公式證明的問(wèn)題;(2)為使這個(gè)公式在 時(shí)也能成立,規(guī)定 ,如同 時(shí) 一樣,是一種規(guī)定,因此,不能按階乘數(shù)的原意作解釋.
④建議應(yīng)充分利用樹(shù)形圖對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析,這樣比較直觀,便于理解.
⑤學(xué)生在開(kāi)始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時(shí),應(yīng)要求他們寫(xiě)出解法的簡(jiǎn)要說(shuō)明,而不能只列出算式、得出答數(shù),這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí).隨著學(xué)生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求.
教學(xué)目標(biāo)
1。 理解的定義,初步掌握的圖象,性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。
2。 通過(guò)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,歸納的能力,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。
3。 通過(guò)對(duì)的研究,使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)是理解的定義,把握?qǐng)D象和性質(zhì)。
難點(diǎn)是認(rèn)識(shí)底數(shù)對(duì)函數(shù)值影響的認(rèn)識(shí)。
教學(xué)用具
投影儀
教學(xué)方法
啟發(fā)討論研究式
教學(xué)過(guò)程
一。 引入新課
我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上,今天我們要來(lái)研究一類(lèi)新的常見(jiàn)函數(shù)———————。
1。6。(板書(shū))
這類(lèi)函數(shù)之所以重點(diǎn)介紹的原因就是它是實(shí)際生活中的一種需要。比如我們看下面的問(wèn)題:
問(wèn)題1:某種細(xì)胞_時(shí),由1個(gè)_成2個(gè),2個(gè)_成4個(gè),……一個(gè)這樣的細(xì)胞_ 次后,得到的細(xì)胞_的個(gè)數(shù) 與 之間,構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系,能寫(xiě)出 與 之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?
由學(xué)生回答: 與 之間的關(guān)系式,可以表示為 。
問(wèn)題2:有一根1米長(zhǎng)的繩子,第一次剪去繩長(zhǎng)一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了 次后繩子剩余的長(zhǎng)度為 米,試寫(xiě)出 與 之間的函數(shù)關(guān)系。
由學(xué)生回答: 。
在以上兩個(gè)實(shí)例中我們可以看到這兩個(gè)函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱為。
一。 的概念(板書(shū))
1。定義:形如 的函數(shù)稱為。(板書(shū))
教師在給出定義之后再對(duì)定義作幾點(diǎn)說(shuō)明。
2。幾點(diǎn)說(shuō)明 (板書(shū))
(1) 關(guān)于對(duì) 的規(guī)定:
教師首先提出問(wèn)題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學(xué)生感到有困難,可將問(wèn)題分解為若 會(huì)有什么問(wèn)題?如 ,此時(shí) , 等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在。
若 對(duì)于 都無(wú)意義,若 則 無(wú)論 取何值,它總是1,對(duì)它沒(méi)有研究的必要。為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定 且 。
(2)關(guān)于的定義域 (板書(shū))
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù)。此時(shí)教師可指出,其實(shí)當(dāng)指數(shù)為無(wú)理數(shù)時(shí), 也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),對(duì)于無(wú)理指數(shù)冪,學(xué)過(guò)的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運(yùn)算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴(kuò)充為實(shí)數(shù)范圍,所以的定義域?yàn)?。擴(kuò)充的另一個(gè)原因是因?yàn)槭顾叽砀袘?yīng)用價(jià)值。
(3)關(guān)于是否是的判斷(板書(shū))
剛才分別認(rèn)識(shí)了中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是,請(qǐng)看下面函數(shù)是否是。
(1) , (2) , (3)
(4) , (5) 。
學(xué)生回答并說(shuō)明理由,教師根據(jù)情況作點(diǎn)評(píng),指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫(xiě)成 ,也是指數(shù)圖象。
最后提醒學(xué)生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問(wèn)題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時(shí)研究的關(guān)鍵在于畫(huà)出它的圖象,再細(xì)致歸納性質(zhì)。
3。歸納性質(zhì)
作圖的用什么方法。用列表描點(diǎn)發(fā)現(xiàn),教師準(zhǔn)備明確性質(zhì),再由學(xué)生回答。
函數(shù)
1。定義域 :
2。值域:
3。奇偶性 :既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
4。截距:在 軸上沒(méi)有,在 軸上為1。
對(duì)于性質(zhì)1和2可以兩條合在一起說(shuō),并追問(wèn)起什么作用。(確定圖象存在的大致位置)對(duì)第3條還應(yīng)會(huì)證明。對(duì)于單調(diào)性,我建議找一些特殊點(diǎn)。,先看一看,再下定論。對(duì)最后一條也是指導(dǎo)函數(shù)圖象畫(huà)圖的依據(jù)。(圖象位于 軸上方,且與 軸不相交。)
在此基礎(chǔ)上,教師可指導(dǎo)學(xué)生列表,描點(diǎn)了。取點(diǎn)時(shí)還要提醒學(xué)生由于不具備對(duì)稱性,故 的值應(yīng)有正有負(fù),且由于單調(diào)性不清,所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能太少。
此處教師可利用計(jì)算機(jī)列表描點(diǎn),給出十組數(shù)據(jù),而學(xué)生自己列表描點(diǎn),至少六組數(shù)據(jù)。連點(diǎn)成線時(shí),一定提醒學(xué)生圖象的變化趨勢(shì)(當(dāng) 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線。
二。圖象與性質(zhì)(板書(shū))
1。圖象的畫(huà)法:性質(zhì)指導(dǎo)下的列表描點(diǎn)法。
2。草圖:
當(dāng)畫(huà)完第一個(gè)圖象之后,可問(wèn)學(xué)生是否需要再畫(huà)第二個(gè)?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是且 ,取值可分為兩段)讓學(xué)生明白需再畫(huà)第二個(gè),不妨取 為例。
此時(shí)畫(huà)它的圖象的方法應(yīng)讓學(xué)生來(lái)選擇,應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到列表描點(diǎn)不是的方法,而圖象變換的方法更為簡(jiǎn)單。即 = 與 圖象之間關(guān)于 軸對(duì)稱,而此時(shí) 的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件。讓學(xué)生自己做對(duì)稱,教師借助計(jì)算機(jī)畫(huà)圖,在同一坐標(biāo)系下得到 的圖象。
最后問(wèn)學(xué)生是否需要再畫(huà)。(可能有兩種可能性,若學(xué)生認(rèn)為無(wú)需再畫(huà),則追問(wèn)其原因并要求其說(shuō)出性質(zhì),若認(rèn)為還需畫(huà),則教師可利用計(jì)算機(jī)再畫(huà)出如 的圖象一起比較,再找共性)
由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征。教師可列一個(gè)表,如下:
以上內(nèi)容學(xué)生說(shuō)不齊的,教師可適當(dāng)提出觀察角度讓學(xué)生去描述,然后再讓學(xué)生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿。
填好后,讓學(xué)生仿照此例再列一個(gè) 的表,將相應(yīng)的內(nèi)容填好。為進(jìn)一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個(gè)角度來(lái)分類(lèi),整理函數(shù)的性質(zhì)。
3。性質(zhì)。
(1)無(wú)論 為何值, 都有定義域?yàn)?,值域?yàn)?,都過(guò)點(diǎn) 。
(2) 時(shí), 在定義域內(nèi)為增函數(shù), 時(shí), 為減函數(shù)。
(3) 時(shí), , 時(shí), 。
總結(jié)之后,特別提醒學(xué)生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì)。
三。簡(jiǎn)單應(yīng)用 (板書(shū))
1。利用單調(diào)性比大小。 (板書(shū))
一類(lèi)函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。首先我們來(lái)看下面的問(wèn)題。
例1。 比較下列各組數(shù)的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與1 。(板書(shū))
首先讓學(xué)生觀察兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn),有什么相同?由學(xué)生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同。再追問(wèn)根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),用什么方法來(lái)比較它們的大小呢?讓學(xué)生聯(lián)想,提出構(gòu)造函數(shù)的方法,即把這兩個(gè)數(shù)看作某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小。然后以第(1)題為例,給出解答過(guò)程。
解: 在 上是增函數(shù),且< 。(板書(shū))
教師最后再?gòu)?qiáng)調(diào)過(guò)程必須寫(xiě)清三句話:
(1) 構(gòu)造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性。
(2) 自變量的大小比較。
(3) 函數(shù)值的大小比較。
后兩個(gè)題的過(guò)程略。要求學(xué)生仿照第(1)題敘述過(guò)程。
例2。比較下列各組數(shù)的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與 。(板書(shū))
先讓學(xué)生觀察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)(1)來(lái)說(shuō) 可以寫(xiě)成 ,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問(wèn)題,再用例1的方法解決,對(duì)(2)來(lái)說(shuō) 可以寫(xiě)成 ,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學(xué)生思考解決。(教師可提示學(xué)生的函數(shù)值與1有關(guān),可以用1來(lái)起橋梁作用)
最后由學(xué)生說(shuō)出 >1,<1,>。
解決后由教師小結(jié)比較大小的方法
(1) 構(gòu)造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)
(2) 搭橋比較法: 用特殊的數(shù)1或0。
三。鞏固練習(xí)
練習(xí):比較下列各組數(shù)的大小(板書(shū))
(1) 與 (2) 與 ;
(3) 與 ; (4) 與 。解答過(guò)程略
四。小結(jié)
1。的概念
2。的圖象和性質(zhì)
3。簡(jiǎn)單應(yīng)用
五 。板書(shū)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
了解平面向量基本定理及其意義,理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示;能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來(lái)表示。
2、過(guò)程與方法:
讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過(guò)程,體會(huì)由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
3、情感、態(tài)度和價(jià)值觀
通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性,增強(qiáng)學(xué)生向量的應(yīng)用意識(shí),并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì)、
二、教學(xué)重點(diǎn):
平面向量基本定理、
三、教學(xué)難點(diǎn):
平面向量基本定理的理解與應(yīng)用、
四、教學(xué)方法:
探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合
五、授課類(lèi)型:
新授課
六、教具:
電子白板、黑板和課件
七、教學(xué)過(guò)程:
(一)情境引課,板書(shū)課題
由導(dǎo)彈的發(fā)射情境,引出物理中矢量的分解,進(jìn)而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個(gè)不同方向的向量進(jìn)行分解呢?
(二)復(fù)習(xí)鋪路,漸進(jìn)新課
在共線向量定理的復(fù)習(xí)中,自然地、漸進(jìn)地融入到平面向量基本定理的師生互動(dòng)合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去,感受著從特殊到一般、分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花,體驗(yàn)著學(xué)習(xí)的快樂(lè)。
(三)歸納總結(jié),形成定理
讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理,并給出基底的定義。
(四)反思定理,解讀要點(diǎn)
反思平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)即向量分解,思考基底的不共線、不惟一和非零性及實(shí)數(shù)對(duì)
的存在性和唯一性。
(五)跟蹤練習(xí),反饋測(cè)試
及時(shí)跟蹤練習(xí),反饋測(cè)試定理的理解程度。
(六)講練結(jié)合,鞏固理解
即講即練定理的應(yīng)用,講練結(jié)合,進(jìn)一步鞏固理解平面向量基本定理。
(七)夾角概念,順勢(shì)得出
不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示,夾角概念順勢(shì)得出。然后數(shù)形結(jié)合,講清本質(zhì):夾角共起點(diǎn)。再結(jié)合例題鞏固加深。
(八)課堂小結(jié),畫(huà)龍點(diǎn)睛
回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程,小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法,老師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體,一氣呵成。
(九)作業(yè)布置,回味思考。
布置課后作業(yè),檢驗(yàn)教學(xué)效果?;匚端伎迹永斫舛ɡ淼膶?shí)質(zhì)。
八、板書(shū)設(shè)計(jì):
1、平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)
2、基底:
(1)不共線向量
叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;
(2)基底:不共線,不唯一,非零
(3)基底給定,分解形式唯一,實(shí)數(shù)對(duì)
存在且唯一;
(4)基底不同,分解形式不唯一,實(shí)數(shù)對(duì)
可同可異。
例1例2
3、夾角:
(1)兩向量共起點(diǎn);
(2)夾角范圍:
例3
4、小結(jié)
5、作業(yè)
教學(xué)目標(biāo):
1、使學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng),找出簡(jiǎn)單事物的排列組合規(guī)律。
2、培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、分析和推理能力以及有順序地、全面地思考問(wèn)題的意識(shí)。
3、使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用,嘗試用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣。
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)增境,激發(fā)興趣。
師:今天我們要去"數(shù)學(xué)廣角樂(lè)園"游玩,你們想去嗎?
二、操作探究,學(xué)習(xí)新知。
<一>組合問(wèn)題
l、看一看,說(shuō)一說(shuō)
師:那我們先在家里挑選穿上漂亮的衣服吧。(課件出示主題圖)
師引導(dǎo)思考:這么多漂亮的衣服,你們用一件上裝在搭配一件下裝可以怎么穿呢?(指名學(xué)生說(shuō)一說(shuō))
2、想一想,擺一擺
(l)引導(dǎo)討論:有這么多種不同的穿法,那怎樣才能做到不遺漏、不重復(fù)呢?
①學(xué)生小組討論交流,老師參與小組討論。
②學(xué)生匯報(bào)
(2)引導(dǎo)操作:小組同學(xué)互相合作,把你們?cè)O(shè)計(jì)的穿法有序的貼在展示板上。(要求:小組長(zhǎng)拿出學(xué)具衣服圖片、展示板)
①學(xué)生小組合作操作擺,教師巡視參與小組活動(dòng)。
②學(xué)生展示作品,介紹搭配方案。
③生生互相評(píng)價(jià)。
(3)師引導(dǎo)觀察:
第一種方案(按上裝搭配下裝)有幾種穿法?(4種)
第二種方案(按下裝搭配上裝)有幾種穿法?(4種)
師小結(jié):不管是用上裝搭配下裝,還是用下裝搭配上裝,只要做到有序搭配就能夠不重復(fù)、不遺漏的把所有的方法找出來(lái)。在今后的學(xué)習(xí)和生活中,我們還會(huì)遇到許多這樣的問(wèn)題,我們都可以運(yùn)用有序的思考方法來(lái)解決它們。
<二>排列問(wèn)題
師:數(shù)學(xué)廣角樂(lè)園到了,不過(guò)進(jìn)門(mén)之前我們必須找到開(kāi)門(mén)密碼。(課件出示課件密碼門(mén))
密碼是由1、2、3組成的兩位數(shù).
(1)小組討論擺出不同的兩位數(shù),并記下結(jié)果。
(2)學(xué)生匯報(bào)交流(老師根據(jù)學(xué)生的回答,點(diǎn)擊課件展示密碼)
(3)生生相互評(píng)價(jià)。方法一:每次拿出兩張數(shù)字卡片能擺出不同的兩位數(shù);
方法二:固定十位上的數(shù)字,交換個(gè)位數(shù)字得到不同的兩位數(shù);
方法三:固定個(gè)位上的數(shù)字,交換十位數(shù)字得到不同的兩位數(shù).
師小結(jié):三種方法雖然不同,但都能正確并有序地?cái)[出6個(gè)不同的兩位數(shù),同學(xué)們可以用自己喜歡的方法.
三、課堂實(shí)踐,鞏固新知。
1、乒乓球賽場(chǎng)次安排。
師:我們先去活動(dòng)樂(lè)園看看,這兒正好有乒乓球比賽呢.(課件出示情境圖)
(l)老師提出要求:每?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)員之間打一場(chǎng)球賽,一共要比幾場(chǎng)?
(2)學(xué)生獨(dú)立思考.
(3)指名學(xué)生匯報(bào).規(guī)
2、路線選擇。(課件展示游玩景點(diǎn)圖)
師:我們?nèi)ス珗@看看吧。途中要經(jīng)過(guò)游戲樂(lè)園。
(l)師引導(dǎo)觀察:從活動(dòng)樂(lè)園到游戲樂(lè)園有幾條路線?哪幾條?(甲,乙兩條)從游戲樂(lè)園去公園有幾條路線?哪幾條?(A,B,C三條)(根據(jù)學(xué)生的回答課件展示)
從活動(dòng)樂(lè)園到時(shí)公園到底有幾種不同的走法?
(2)學(xué)生獨(dú)立思索后小組交流。
(3)全班同學(xué)互相交流。
3、照像活動(dòng)。
師:我們來(lái)到公園,這兒的景色真不錯(cuò),大家照幾張像吧.
師提出要求:攝影師要求三名同學(xué)站成一排照像,每小組根據(jù)每次合影人數(shù)(雙人照或三人照)設(shè)計(jì)排列方案,由組長(zhǎng)作好活動(dòng)記錄。
(1)小組活動(dòng),老師參與小組活動(dòng)。
(2)各小組展示記錄方案。
(3)師生共同評(píng)價(jià)。
4、欣賞照片.
師:在同學(xué)們照像的同時(shí),小麗一家三口人也正在照像呢,看看她們是怎樣照的.(課件展示照片集欣賞)
四、總結(jié)
今天的游玩到此結(jié)束,同學(xué)們互相握手告別好嗎?如果小組里的四個(gè)同學(xué)每?jī)扇宋找淮问?,一共要握幾次手?/p>
【考綱要求】
了解雙曲線的定義,幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道它的簡(jiǎn)單性質(zhì)。
【自學(xué)質(zhì)疑】
1.雙曲線 的 軸在 軸上, 軸在 軸上,實(shí)軸長(zhǎng)等于 ,虛軸長(zhǎng)等于 ,焦距等于 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ,
漸近線方程是 ,離心率 ,若點(diǎn) 是雙曲線上的點(diǎn),則 , 。
2.又曲線 的左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是7,則這點(diǎn)到雙曲線的右焦點(diǎn)的距離是
3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。
4.雙曲線的漸近線方程是 ,則該雙曲線的離心率等于 。
5.與雙曲線 有公共的漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的方程為
【例題精講】
1.雙曲線的離心率等于 ,且與橢圓 有公共焦點(diǎn),求該雙曲線的方程。
2.已知橢圓具有性質(zhì):若 是橢圓 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn) 是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線 的斜率都存在,并記為 時(shí),那么 之積是與點(diǎn) 位置無(wú)關(guān)的定值,試對(duì)雙曲線 寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì),并加以證明。
3.設(shè)雙曲線 的半焦距為 ,直線 過(guò) 兩點(diǎn),已知原點(diǎn)到直線 的距離為 ,求雙曲線的離心率。
【矯正鞏固】
1.雙曲線 上一點(diǎn) 到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ,則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 。
2.與雙曲線 有共同的漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是 。
3.若雙曲線 上一點(diǎn) 到它的右焦點(diǎn)的距離是 ,則點(diǎn) 到 軸的距離是
4.過(guò)雙曲線 的左焦點(diǎn) 的直線交雙曲線于 兩點(diǎn),若 。則這樣的直線一共有 條。
【遷移應(yīng)用】
1. 已知雙曲線 的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到漸近線距離的2倍,則該雙曲線的離心率
2. 已知雙曲線 的焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) 在雙曲線上,且 ,則點(diǎn) 到 軸的距離為 。
3. 雙曲線 的焦距為
4. 已知雙曲線 的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為 ,則
5. 設(shè) 是等腰三角形, ,則以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的離心率為 .
6. 已知圓 。以圓 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
1、教學(xué)目標(biāo):
一、借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。
二、根據(jù)三角函數(shù)的定義,能夠判斷三角函數(shù)值的符號(hào)。
三、通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)的"發(fā)現(xiàn)"與"形成"的過(guò)程,培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力,從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。
四、讓學(xué)生在任意角三角函數(shù)概念的形成過(guò)程中,體會(huì)函數(shù)思想,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。
2、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):
重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義;三角函數(shù)值的符號(hào)。
難點(diǎn):任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程。
授課過(guò)程:
一、引入
在我們的現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)變化都有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象,這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)這種變化?從這節(jié)課開(kāi)始,我們要來(lái)學(xué)習(xí)刻畫(huà)這種規(guī)律的數(shù)學(xué)模型之一――三角函數(shù)。
二、創(chuàng)設(shè)情境
三角函數(shù)是與角有關(guān)的函數(shù),在學(xué)習(xí)任意角概念時(shí),我們知道在直角坐標(biāo)系中研究角,可以給學(xué)習(xí)帶來(lái)許多方便,比如我們可以根據(jù)角終邊的位置把它們進(jìn)行歸類(lèi),現(xiàn)在大家考慮:若在直角坐標(biāo)系中來(lái)研究銳角,則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢?
學(xué)生情況估計(jì):學(xué)生可能會(huì)提出兩種定義的方式,一種定義為邊之比,另一種定義在比值中引入了終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)。
問(wèn)題:
1、銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式?
2、點(diǎn)P能否取在終邊上的其它位置?為什么?
3、點(diǎn)P在哪個(gè)位置,比值會(huì)更簡(jiǎn)潔?(引出單位圓的定義)。指出sina=mP的函數(shù)依舊表示一個(gè)比值,不過(guò)其分母為1而已。
練習(xí):計(jì)算的各三角函數(shù)值。
三、任意角的三角函數(shù)的定義
角的概念已經(jīng)推廣道了任意角,那么三角函數(shù)的定義在任意角的范圍里改怎么定義呢?
嘗試:根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,你能?chē)L試著給出任意角三角函數(shù)的定義嗎?
評(píng)價(jià)學(xué)生給出的定義。給出任意角三角函數(shù)的定義。
四、解析任意角三角函數(shù)的定義
三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點(diǎn)解析三角函數(shù)嗎?(定義域)
對(duì)于確定的角a,上面三個(gè)函數(shù)值都是唯一確定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)。
五、三角函數(shù)的應(yīng)用。
1、已知角,求a的三角函數(shù)值。
2、已知角a終邊上的一點(diǎn)P(-3,-4),求各三角函數(shù)值。
以上兩道書(shū)上的例題,讓學(xué)生自習(xí)看書(shū),學(xué)生看書(shū)的同時(shí),老師提出問(wèn)題:
1、已知角如何求三角函數(shù)值?
2、利用角a的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)也可以定義三角函數(shù),你能給出這種定義嗎?(這種定義與課本中給出的定義各有什么特點(diǎn)?)
3、變式:已知角a終邊上點(diǎn)P(-3b,-4b),(b0),求角a的各三角函數(shù)值。
4、探究:三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)。
六、小結(jié)及作業(yè)
教案設(shè)計(jì)說(shuō)明:
新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)。
首先,角的概念推廣了,那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢?通過(guò)這個(gè)問(wèn)題,讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)的發(fā)生是可能的,自然的。
其次,到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢?讓學(xué)生提出自己的想法,同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的?因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,科學(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個(gè)立-破的過(guò)程中,讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成,在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思。這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解。
再次,讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中,是如何將直角三角形這個(gè)"形"的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)"數(shù)"的過(guò)程的。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。
課題:指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
課型:新授課
教學(xué)方法:講授法與探究法
教學(xué)媒體選擇:多媒體教學(xué)
指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算——學(xué)習(xí)者分析:
1.需求分析:在研究指數(shù)函數(shù)前,學(xué)生應(yīng)熟練掌握指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算,通過(guò)本節(jié)內(nèi)容將指數(shù)的取值范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù),為學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)打基礎(chǔ).
2.學(xué)情分析:在中學(xué)階段已經(jīng)接觸過(guò)正數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算,但是這對(duì)我們研究指數(shù)函數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,通過(guò)本節(jié)課使學(xué)生對(duì)指數(shù)冪的運(yùn)算和理解更加深入.
指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算——學(xué)習(xí)任務(wù)分析:
1.教材分析:本節(jié)的內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如推廣思想,逼近思想,教材充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系,體現(xiàn)了本節(jié)內(nèi)容的重要性和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.
2.教學(xué)重點(diǎn):根式的概念及n次方根的性質(zhì);分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義及運(yùn)算性質(zhì);分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化.
3.教學(xué)難點(diǎn):n次方根的性質(zhì);分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.
指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算——教學(xué)目標(biāo)闡明:
1.知識(shí)與技能:理解根式的概念及性質(zhì),掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算,能夠熟練的進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化.
2.過(guò)程與方法:通過(guò)探究和思考,培養(yǎng)學(xué)生推廣和逼近的數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力和主動(dòng)參與能力.
3.情感態(tài)度和價(jià)值觀:在教學(xué)過(guò)程中,讓學(xué)生自主探索來(lái)加深對(duì)n次方根和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解,而具有探索能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方面.
教學(xué)流程圖:
指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算——教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):
一.新課引入:
(一)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)介紹
(二)問(wèn)題引入
1.問(wèn)題:當(dāng)生物體死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,人們獲得了生物體內(nèi)含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系:
(1)當(dāng)生物死亡了5730年后,它體內(nèi)的碳14含量P的值為
(2)當(dāng)生物死亡了5730×2年后,它體內(nèi)的碳14含量P的值為
(3)當(dāng)生物死亡了6000年后,它體內(nèi)的碳14含量P的值為
(4)當(dāng)生物死亡了10000年后,它體內(nèi)的碳14含量P的值為
2.回顧整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):
3.思考:這些運(yùn)算性質(zhì)對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是否適用呢?
【師】這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容《指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算》
【板書(shū)】2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
二.根式的概念:
【師】下面我們來(lái)看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.口述平方根,立方根的概念引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)n次方根的概念..
【板書(shū)】平方根,立方根,n次方根的符號(hào),并舉一些簡(jiǎn)單的方根運(yùn)算,以便學(xué)生觀察總結(jié).
【師】現(xiàn)在我們請(qǐng)同學(xué)來(lái)總結(jié)n次方根的概念..
1.根式的概念
【板書(shū)】概念
即如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a(n>1,且n∈N_),那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根.
【師】通過(guò)剛才所舉的例子不難看出n的奇偶以及a的正負(fù)都會(huì)影響a的n次方根,下面我們來(lái)共同完成這樣一個(gè)表格.
【板書(shū)】表格
【師】通過(guò)這個(gè)表格,我們知道負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.那么0的n次方根是什么?
【學(xué)生】0的n次方根是0.
【師】現(xiàn)在我們來(lái)對(duì)這個(gè)符號(hào)作一說(shuō)明.
例1.求下列各式的值
【注】本題較為簡(jiǎn)單,由學(xué)生口答即可,此處過(guò)程省略.
三.n次方根的性質(zhì)
【注】對(duì)于1提問(wèn)學(xué)生a的取值范圍,讓學(xué)生思考便能得出結(jié)論.
【注】對(duì)于2,少舉幾個(gè)例子讓學(xué)生觀察,并起來(lái)說(shuō)他們的結(jié)論.
1.n次方根的性質(zhì)
四.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
【師】這兩個(gè)根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,是因?yàn)楦笖?shù)能整除被開(kāi)方數(shù)的指數(shù),那么請(qǐng)大家思考下面的問(wèn)題.
思考:根指數(shù)不能整除被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)時(shí)還能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式嗎
【師】如果成立那么它的意義是什么,我們有這樣的規(guī)定.
(一)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:
1.我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:
2.我們規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:
3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.
(二)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的推廣:
五.例題
例2.求值
【注】此處例2讓學(xué)生上黑板做,例3待學(xué)生完成后老師在黑板板演,例4讓學(xué)生黑板上做,然后糾正錯(cuò)誤.
六.課堂小結(jié)
1.根式的定義;
2.n次方根的性質(zhì);
3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.
七.課后作業(yè)
P59習(xí)題2.1A組1.2.4.
八.課后反思
1.在第一節(jié)課的時(shí)候沒(méi)有把重要的內(nèi)容寫(xiě)在黑板上,而且運(yùn)算性質(zhì)中a,r,s的條件沒(méi)有給出,另外課件中有一處錯(cuò)誤.第二節(jié)課時(shí)改正了第一節(jié)課的錯(cuò)誤.
2.有許多問(wèn)題應(yīng)讓學(xué)生回答,不能自問(wèn)自答.根式性質(zhì)的思考沒(méi)有講清楚,應(yīng)該給學(xué)生更多的時(shí)間來(lái)回答和思考問(wèn)題,與之互動(dòng)太少.
3.講課過(guò)程中還有很多細(xì)節(jié)處理不好,并且講課聲音較小,沒(méi)有起伏.
4.課前的章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)很好,引入簡(jiǎn)單到位,亮點(diǎn)是概念后的表格.
在預(yù)習(xí)教材中的例4的基礎(chǔ)上,證明:若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),則橢圓上任一點(diǎn)p()到焦點(diǎn)的距離(焦半徑),同時(shí)思考當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),結(jié)論如何?(此題意圖是引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)一步探究,為進(jìn)一步研究橢圓的性質(zhì)做準(zhǔn)備)
本堂課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),改變了教材中原有安排順序,引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前預(yù)習(xí)所作的圖形入手,從分析對(duì)稱開(kāi)始,循序漸進(jìn)進(jìn)行探究。由教師點(diǎn)撥、指導(dǎo),學(xué)生研究、合作、體驗(yàn)來(lái)完成。
本節(jié)課借助多媒體手段創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,指導(dǎo)學(xué)生研究式學(xué)習(xí)和體驗(yàn)式學(xué)習(xí)(興趣是前提)。例如導(dǎo)入,通過(guò)“神州五號(hào)”這樣一個(gè)人們關(guān)注的話題引入,有利于激發(fā)學(xué)生的興趣。再如,這節(jié)課是學(xué)生第一次利用曲線方程研究曲線性質(zhì),為了解決這一難點(diǎn),在課前設(shè)計(jì)中改變了教材原有研究順序,讓學(xué)生從觀察一個(gè)具體橢圓圖形入手,從觀察到對(duì)稱性這一宏觀特征開(kāi)始研究,符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),調(diào)動(dòng)了學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)的積極性,使他們進(jìn)行自主探究與合作交流,親身體驗(yàn)幾何性質(zhì)的形成與論證過(guò)程,變靜態(tài)教學(xué)為動(dòng)態(tài)教學(xué)。在研究范圍這一性質(zhì)時(shí),課前設(shè)計(jì)中,只要學(xué)生能根據(jù)不等式知識(shí)解出就可以了,但學(xué)生采用了多種方法研究,這時(shí)教師沒(méi)有打斷他的思路,而是引導(dǎo)幫助他研究,鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新,從而也實(shí)現(xiàn)了以學(xué)生為主,為學(xué)生服務(wù)。
在離心率這一性質(zhì)的教學(xué)中,充分利用多媒體手段,以輕松愉悅的動(dòng)畫(huà)演示,化解了知識(shí)的難點(diǎn)。
但也有不足的地方:在對(duì)具體例子的觀察分析中,設(shè)計(jì)的問(wèn)題過(guò)于具體,可能束縛了學(xué)生的思維,還沒(méi)有放開(kāi)。還有就是少講多學(xué)方面也是我今后教學(xué)中努力的方向。
感悟:新課堂是活動(dòng)的課堂,討論、合作交流可課堂,德育教育的課堂,應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)的課堂,因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學(xué)生一起來(lái)培育。
一、教學(xué)內(nèi)容分析
二面角是我們?nèi)粘I钪薪?jīng)常見(jiàn)到的一個(gè)圖形,它是在學(xué)生學(xué)過(guò)空間異面直線所成的角、直線和平面所成角之后,研究的一種空間的角,二面角進(jìn)一步完善了空間角的概念。掌握好本節(jié)課的知識(shí),對(duì)學(xué)生系統(tǒng)地理解直線和平面的知識(shí)、空間想象能力的培養(yǎng),乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義。
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
理解二面角及其平面角的概念;能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步運(yùn)用它們解決相關(guān)問(wèn)題。
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法。
四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
一、新課引入
1。復(fù)習(xí)和回顧平面角的有關(guān)知識(shí)。
平面中的角
定義從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形,叫做角
圖形
結(jié)構(gòu)射線點(diǎn)射線
表示法AOB,O等
2。復(fù)習(xí)和回顧異面直線所成的角、直線和平面所成的角的定義,及其共同特征。(空間角轉(zhuǎn)化為平面角)
3。觀察:陡峭與否,跟山坡面與水平面所成的角大小有關(guān),而山坡面與水平面所成的角就是兩個(gè)平面所成的角。在實(shí)際生活當(dāng)中,能夠轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面所成角例子非常多,比如在這間教室里,誰(shuí)能舉出能夠體現(xiàn)兩個(gè)平面所成角的實(shí)例?(如圖1,課本的開(kāi)合、門(mén)或窗的開(kāi)關(guān)。)從而,引出二面角的定義及相關(guān)內(nèi)容。
二、學(xué)習(xí)新課
(一)二面角的定義
平面中的角二面角
定義從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形,叫做角課本P17
圖形
結(jié)構(gòu)射線點(diǎn)射線半平面直線半平面
表示法AOB,O等二面角a或—AB—
(二)二面角的圖示
1。畫(huà)出直立式、平臥式二面角各一個(gè),并分別給予表示。
2。在正方體中認(rèn)識(shí)二面角。
(三)二面角的平面角
平面幾何中的角可以看作是一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成,它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)量,它的大小可以度量,類(lèi)似地,二面角也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成,它也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)量,那么,二面角的大小應(yīng)該怎樣度量?
1。二面角的平面角的定義(課本P17)。
2。AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無(wú)關(guān)。
[說(shuō)明]①平面與平面的位置關(guān)系,只有相交或平行兩種情況,為了對(duì)相交平面的相互位置作進(jìn)一步的探討,有必要來(lái)研究二面角的度量問(wèn)題。
②與兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角做類(lèi)比,用平面角去度量。
③二面角的平面角的三個(gè)主要特征:角的頂點(diǎn)在棱上;角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi);角的兩邊分別與棱垂直。
3。二面角的平面角的范圍:
(四)例題分析
例1一張邊長(zhǎng)為a的正三角形紙片ABC,以它的高AD為折痕,將其折成一個(gè)的二面角,求此時(shí)B、C兩點(diǎn)間的距離。
[說(shuō)明]①檢查學(xué)生對(duì)二面角的平面角的定義的掌握情況。
②翻折前后應(yīng)注意哪些量的位置和數(shù)量發(fā)生了變化,哪些沒(méi)變?
例2如圖,已知邊長(zhǎng)為a的等邊三角形所在平面外有一點(diǎn)P,使PA=PB=PC=a,求二面角的大小。
[說(shuō)明]①求二面角的步驟:作證算答。
②引導(dǎo)學(xué)生掌握解題可操作性的通法(定義法和線面垂直法)。
例3已知正方體,求二面角的大小。(課本P18例1)
[說(shuō)明]使學(xué)生進(jìn)一步熟悉作二面角的平面角的方法。
(五)問(wèn)題拓展
例4如圖,山坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數(shù))是,山坡上有一條直道CD,它和坡腳的水平線AB的夾角是,沿這條路上山,行走100米后升高多少米?
[說(shuō)明]使學(xué)生明白數(shù)學(xué)既來(lái)源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際。
三、鞏固練習(xí)
1。在棱長(zhǎng)為1的正方體中,求二面角的大小。
2。若二面角的大小為,P在平面上,點(diǎn)P到的距離為h,求點(diǎn)P到棱l的距離。
四、課堂小結(jié)
1。二面角的定義
2。二面角的平面角的定義及其范圍
3。二面角的平面角的常用作圖方法
4。求二面角的大?。ㄗ髯C算答)
五、作業(yè)布置
1。課本P18練習(xí)14。4(1)
2。在二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn),它到另一個(gè)面的距離是10,求它到棱的距離。
3。把邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD以BD為軸折疊,使二面角A—BD—C成的二面角,求A、C兩點(diǎn)的距離。
六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
本節(jié)課的設(shè)計(jì)不是簡(jiǎn)單地將概念直接傳受給學(xué)生,而是考慮到知識(shí)的形成過(guò)程,設(shè)法從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā),調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與探索、發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題解決全過(guò)程。二面角及二面角的平面角這兩大概念的引出均運(yùn)用了類(lèi)比的手段和方法。教學(xué)過(guò)程中通過(guò)教師的層層鋪墊,學(xué)生的主動(dòng)探究,使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程,有意識(shí)地加強(qiáng)了知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué)。
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
(一)兩角和與差公式
(二)倍角公式
2cos2α=1+cos2α 2sin2α=1-cos2α
注意:倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,可實(shí)現(xiàn)函數(shù)式的降冪的變化。
注: (1)兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類(lèi)基本題型:求值題,化簡(jiǎn)題,證明題。
(2)對(duì)公式會(huì)“正用”,“逆用”,“變形使用”;
(3)掌握“角的演變”規(guī)律,
(4)將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用。
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn):幾組三角恒等式的應(yīng)用
難點(diǎn):靈活應(yīng)用和、差、倍角等公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式
【精典范例】
例1 已知
求證:
例2 已知 求 的取值范圍
分析 難以直接用 的式子來(lái)表達(dá),因此設(shè) ,并找出 應(yīng)滿足的等式,從而求出 的取值范圍.
例3 求函數(shù) 的值域.
例4 已知且 、 、 均為鈍角,求角 的值.
分析 僅由 ,不能確定角 的值,還必須找出角 的范圍,才能判斷 的值. 由單位圓中的余弦線可以看出,若 使 的角為 或 若 則 或
【選修延伸】
例5 已知
求 的值.
例6 已知 ,
求 的值.
例7 已知
求 的值.
例8 求值:(1) (2)
【追蹤訓(xùn)練】
1. 等于 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ,且,則 的值等于 ( )
A. B. C. D.
3.求值: = .
4.求證:(1)
一、教學(xué)內(nèi)容
本節(jié)主要內(nèi)容為:經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過(guò)程,能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算。
二、教學(xué)目標(biāo)
1、經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過(guò)程,能夠進(jìn)行有關(guān)推理,進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義。
2、能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算。
3、能夠根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值,說(shuō)出相應(yīng)的銳角的大小。
三、過(guò)程與方法
通過(guò)進(jìn)行有關(guān)推理,探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。在具體教學(xué)過(guò)程中,教師可在教材的基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展,使得內(nèi)容更為豐富.教師可以運(yùn)用和學(xué)生共同探究式的教學(xué)方法,學(xué)生可以采取自主探討式的學(xué)習(xí)方法.
四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算
難點(diǎn):記住30°、45°、60°角的三角函數(shù)值
五、教學(xué)準(zhǔn)備
教師準(zhǔn)備
預(yù)先準(zhǔn)備教材、教參以及多媒體課件
學(xué)生準(zhǔn)備
教材、同步練習(xí)冊(cè)、作業(yè)本、草稿紙、作圖工具等
六、教學(xué)步驟
教學(xué)流程設(shè)計(jì)
教師指導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)
1.新章節(jié)開(kāi)場(chǎng)白.1.進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).
2.進(jìn)行教學(xué).2.配合學(xué)習(xí).
3.總結(jié)和指導(dǎo)學(xué)生練習(xí).3記錄相關(guān)內(nèi)容,完成練習(xí).
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
1、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問(wèn)題
2、師生共同研究形成概念
3、隨堂練習(xí)
4、小結(jié)
5、作業(yè)
板書(shū)設(shè)計(jì)
1、敘述三角函數(shù)的意義
2、30°、45°、60°角的三角函數(shù)值
3、例題
七、課后反思
本節(jié)課基本上能夠突出重點(diǎn)、弱化難點(diǎn),在時(shí)間上也能掌控得比較合理,學(xué)生也比較積極投入學(xué)習(xí)中,但是學(xué)生好像并不是掌握得很好,在今后的教學(xué)中應(yīng)該再加強(qiáng)關(guān)于這方面的學(xué)習(xí)。